Question

【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，的最大值为（ ）

A. B. C. D. 10

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先由双曲线的定义及条件得到（定值），然后可采用几何法、代数法两种方法得到，最后再根据基本不定式求解即可．

由双曲线的定义可知，

所以，

当，，三点共线时，最小，

所以，

所以．

由题意得．

方法一：由的面积是（为原点）的面积的2倍，，，

得，

所以的面积为．

又由知，

因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，

所以最大为．

故选A．

方法二：因为直线为双曲线的一条渐近线，

所以方程为．过左焦点与渐近线垂直的直线方程为，

由，解得，所以，

所以．

又由知，

因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，

所以最大为．

故选A．