题目内容
【题目】已知三棱柱中,
平面
,
于点
,点
在棱
上,满足
.
若
,求证:
平面
;
设平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
,若
,试判断命题“
”的真假,并说明理由.
【答案】证明见解析
假命题,理由见解析
【解析】
根据题意,设
,以点
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,过
和
平行的直线为
轴,以
所在的直线为
建立空间直角坐标系,求平面
的一个法向量
,只需证明
,即可得出结论成立;
根据
中建立的坐标系,分别求出平面
与平面
的法向量,表示出两向量的夹角,根据题意,即可求出结果.
因为
,设
,则
,所以
,
,以点
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,过
和
平行的直线为
轴,以
所在的直线为
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,
,
,
所以,
,
所以,所以
,
,
设为平面
的法向量,则
即,取
,则
,
所以,而
,所以
,
又因为直线在平面
外,
所以平面
.
由
可知,
,
因为,所以
.
所以,
所以,所以
,
,设
为平面
的法向量.
则,即
,
取,则
,
,
因为平面
,所以
,因为
,
所以与
的法向量
平行,
取,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
所以
对于,若把
看作
的函数.
则此函数在上是单调递增的,在
是单调递减的,
所以,所以
,
所以不存在,使得
,
命题“”是假命题.
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