Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=$\frac{7}{2}$，S₆=$\frac{63}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S₃=$\frac{7}{2}$与S₆=$\frac{63}{2}$相除可得公比q=2，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=2^n-2及对数的性质可知b_n=7n-63，利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵S₃=$\frac{7}{2}$，S₆=$\frac{63}{2}$，
∴q≠1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{7}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{63}{2}$，
两式相除得：1+q³=9，解得q=2，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2；
（2）∵a_n=2^n-2，
∴b_n=6n-61+log₂a_n
=6n-61+$lo{g}_{2}{2}^{n-2}$
=7n-63，
∴b_n+1-b_n=[7（n+1）-63]-（7n-63）=7，
∴数列{b_n}是首项为-56、公差为7的等差数列，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（-56+7n-63）}{2}$=$\frac{7{n}^{2}-119n}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．