Question

【题目】若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ， 则称{an}具有性质P．
（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn ， 判断{an}是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1 ， {an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a2=a5=2，∴a3=a6，

a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16

（2）

解：设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，

b5﹣b1=4d=80，

∴d=20，∴bn=20n﹣19， =q4= ，∴q= ，∴cn=

∴an=bn+cn=20n﹣19+ ．

∵a1=a5=82，

而a2=21+27=48，a6=101 = ．a1=a5，但是a2≠a6，{an}不具有性质P

（3）

解：充分性：若{bn}是常数列，

设bn=C，则an+1=C+sinan，

若存在p，q使得ap=aq，则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，

故{an}具有性质P．

必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，

则a2=b1+sina1，

设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，

由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，

∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，

∴a2=b1+sina1=a1，∴an=an+1，

故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn，

∴{bn}是常数列．

【解析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6 ， a4=a7 ， 转化求解a3即可．
（2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出bn ， cn得到an的表达式，推出a2≠a6 ， 说明{an}不具有性质P．
（3）充分性：若{bn}是常数列，设bn=C，通过an+1=C+sinan ， 证明ap+1=aq+1 ， 得到{an}具有性质P．
必要性：若对于任意a1 ， {an}具有性质P，得到a2=b1+sina1 ， 设函数f（x）=x﹣b1 ， g（x）=sinx，说明bn+1=bn ， 即可说明{bn}是常数列．
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．