Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在,使得.

【解析】分析：(1)在椭圆上，所以满足椭圆方程，又离心率为，联立两个等式即可解出椭圆方程；(2),则,所以的方程为，联立AF的方程和椭圆方程即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，从而分析的比值.

详解：(1)设椭圆的方程为，，

由题意知

解得所以椭圆的方程为.

(2)设,则,,又,

所以直线的方程为.

由消去，得

.

因为是该方程的一个解,所以点的横坐标.

又点在直线上，

所以 ，从而点的坐标为(

同理,点的坐标为(，

所以 ，

即存在,使得.