题目内容
【题目】已知正方形的边长为4,
,
分别为
,
的中点,以
为棱将正方形
折成如图所示的
的二面角,点
在线段
上且不与点
,
重合,直线
与由
,
,
三点所确定的平面相交,交点为
.
(1)若为
的中点,试确定点
的位置,并证明直线
平面
;
(2)若,求
的长度,并求此时点
到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)延长交
的延长线于
,连接
交
于
,利用平面几何知识得
,再根据线面平行判定定理得结论,(2)根据线线垂直、线面垂直关系将条件转化到平面内垂直关系,再根据相似三角形以及直角三角形计算得结果.
(1)延长交
的延长线于
,
为
中点,
,
为
中点,
又,
为
中点,
连接交
于
,则
为
中点,所以
,
又平面
,
平面
,
平面
;
(2)由题意可知,所以
平面
,同理可得
平面
,因为二面角
为60°,
,
与
是全等的正三角形,取
中点
,则
,由
平面
,
平面
得
,因此
平面
,即
,
平面
,
设,
的长度为
.
过作
于
,则由
平面
,得
平面
,即
为点
到平面
的距离,
点
到平面
的距离为
.
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