Question

【题目】已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）个零点.

【解析】

解：（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，

∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4]（a＞0）

∴f（x）min＝﹣4a＝﹣4

∴a＝1

故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3

（2）g（x）4lnx﹣2（x＞0），

∴g′（x）

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	单调增加	极大值	单调减少	极小值	单调增加

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0；

又g（e5）20﹣2＞25﹣1﹣22＝9＞0

故函数g（x）只有1个零点，且零点