Question

10．已知a≥0，函数f（x）=x²-5丨x-a丨+2a．
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，3]上单调，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x₁、x₂，满足（x₁-a）（x₂-a）＜0，且f（x₁）=f（x₂），求当a变化时，x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+7a，x≥a}\\{{x}^{2}+5x-3a，x≤a}\end{array}\right.$，结合二次函数的单调性和条件，可得a的范围；
（Ⅱ）不妨设x₁＜a＜x₂，对a的取值进行分类讨论，分别构造出g（k）=x₁+x₂的表达式，分析其单调性后，可得g（k）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-5丨x-a丨+2a
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+7a，x≥a}\\{{x}^{2}+5x-3a，x≤a}\end{array}\right.$，
当0≤x≤3时，
若a≥3，则f（x）=x²+5x-3a在[-$\frac{5}{2}$，+∞]上为增函数，符合题意；
若0＜a＜$\frac{5}{2}$，则f（x）在[0，a]上为增函数，在[a，$\frac{5}{2}$]上为减函数，在[$\frac{5}{2}$，3]上为增函数，不合题意；
若$\frac{5}{2}$≤a＜3时，则f（x）在[0，a]上为增函数，在[a，3]上为增函数，所以f（x）在[0，3]上为增函数，符合题意．
综上，所求a 的取值范围为a≥$\frac{5}{2}$．
（Ⅱ）由（x₁-a）（x₂-a）＜0，
可设x₁＜a＜x₂，令f（x₁）=f（x₂）=k，
当a≥$\frac{5}{2}$时，k＞f（a）=a²+2a，当0≤a＜$\frac{5}{2}$时，$\frac{28a-25}{4}$≤k，
①当a≥0，且k＞f（a）=a²+2a，
则x₁=$\frac{-5-\sqrt{25+4k+12a}}{2}$，x₂=$\frac{5+\sqrt{25+4k-28a}}{2}$，
即有g（k）=x₁+x₂=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{25+4k-28a}$-$\sqrt{25+4k+12a}$）
=$\frac{-20a}{\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}}$单调递增，
所以0＞$\frac{-20a}{\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}}$＞$\frac{-10a}{|a-\frac{5}{2}|+|a+\frac{5}{2}|}$
当a≥$\frac{5}{2}$时，$\frac{-10a}{|a-\frac{5}{2}|+|a+\frac{5}{2}|}$=-5，
当0≤a＜$\frac{5}{2}$时，$\frac{-10a}{|a-\frac{5}{2}|+|a+\frac{5}{2}|}$=-2a＞-5，
所以-5＜x₁+x₂＜0，
②当0≤a＜$\frac{5}{2}$时，7a-$\frac{25}{4}$≤k≤f（a）=a²+2a时，
$\frac{-5-\sqrt{25+4k+12a}}{2}$+$\frac{5-\sqrt{25+4k-28a}}{2}$≤x₁+x₂≤$\frac{-5+\sqrt{25+4k-28a}}{2}$+$\frac{5+\sqrt{25+4k-28a}}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{25+4k+12a}$+$\sqrt{25+4k-28a}$）≤x₁+x₂≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{25+4k+12a}$+$\sqrt{25+4k-28a}$），
因为（$\sqrt{25+4k+12a}$+$\sqrt{25+4k-28a}$）是关于k的增函数，且7a-$\frac{25}{4}$≤k≤f（a）=a²+2a，
所以$\sqrt{40a}$≤$\sqrt{25+4k+12a}$+$\sqrt{25+4k-28a}$≤10，
由当a=0时，f（x）关于x轴对称，从而x₁+x₂=0可以取到，
所以当a变化时，-5≤x₁+x₂≤5．
综上，x₁+x₂的取值范围为[-5，5]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，是分类函数与二次函数的综合应用，难度中档．