Question

【题目】关于数列有下列命题：
①数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=an﹣1（a∈R），则{an}为等差或等比数列；
②数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
③一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；
④一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使akak+1＜0，则对于任意n∈N* ， 都有anan+1＜0，
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：对于（1），数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=an﹣1（a∈R），
当a=0时，a1=﹣1，a2=a3=…=0，{an}既不是等差又不是等比数列，故①错误；
对于②，数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
假设am=an（m≠n），则a1+（m﹣1）d=a1+（n﹣1）d，整理可得m=n，这与m≠n矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即②正确；
对于③，一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，故d＞0，
所以，对于任意自然数n＞k，都有an＞0，③正确；
对于④，一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使akak+1＜0，则q ＜0，即q＜0，
则对于任意n∈N* ， 都有anan+1=q ＜0，正确．
综上所述，正确命题的序号是②③④．
所以答案是：②③④．
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案．