Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线 相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心是（x0，0）（x0＞0），它到直线 的距离是 ，

解得x0=2或x0=﹣6（舍去）

∴所求圆C的方程是（x﹣2）2+y2=4

（2）解：∵点M（m，n）在圆C上

∴（m﹣2）2+n2=4，n2=4﹣（m﹣2）2=4m﹣m2且0≤m≤4

又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离

解得

而

∴

∵

∴当 ，即 时取得最大值 ，

此时点M的坐标是 与 ，面积的最大值是

【解析】（1）设圆心是（x0 ， 0）（x0＞0），由直线 于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求x0 ， 进而可求圆C的方程（2）把点M（m，n）代入圆的方程可得，m，n的方程，结合原点到直线l：mx+ny=1的距离h＜1可求m的范围，根据弦长公式求出AB，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值
【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式和圆的标准方程，需要了解点到直线的距离为：；圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程才能得出正确答案．