题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线 相切.
(1)求圆C的方程;
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线 的距离是
,
解得x0=2或x0=﹣6(舍去)
∴所求圆C的方程是(x﹣2)2+y2=4
(2)解:∵点M(m,n)在圆C上
∴(m﹣2)2+n2=4,n2=4﹣(m﹣2)2=4m﹣m2且0≤m≤4
又∵原点到直线l:mx+ny=1的距离
解得
而
∴
∵
∴当 ,即
时取得最大值
,
此时点M的坐标是 与
,面积的最大值是
【解析】(1)设圆心是(x0 , 0)(x0>0),由直线 于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求x0 , 进而可求圆C的方程(2)把点M(m,n)代入圆的方程可得,m,n的方程,结合原点到直线l:mx+ny=1的距离h<1可求m的范围,根据弦长公式求出AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值
【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式和圆的标准方程,需要了解点到直线
的距离为:
;圆的标准方程:
;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程才能得出正确答案.

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