题目内容
【题目】已知
为坐标原点， 
是椭圆
上的点，设动点
满足
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）若直线
与曲线
相交于
， 
两个不同点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：（1）设点
，,则由
，得
，利用“逆代法”可得动点
的轨迹
的方程；（2）直线
与曲线
,联立可得
，，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式将
面积用
表示，利用基本不等式 即可得结.
试题解析：（1）设点
，
,则由
，得
，即
，
，因为点
在椭圆
，所以
，故
，即动点
的轨迹
的方程为
.
（2）由曲线与直线
联立得
，消
得
，因为直线与曲线交于
， 
两点，所以
，又
，所以
.
设
， 
，则
， 
，因为点
到直线
： 
的距离
，
，所以
，
，当且仅当
，即
时取等号，所以
面积的最大值为
.
【方法点晴】本题主要考查逆代法求曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最大值的.
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