Question

【题目】已知，命题对，不等式恒成立；命题对，不等式恒成立.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为假，为真，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用单调性求得的最小值，利用小于或等于这个最小值求得的取值范围.（2）利用分离常数法，将命题所给不等式分离常数后，求得的取值范围.根据题目所给已知条件“为假，为真，”可知一真一假，分成真假，和假真两类，列不等式组求得的取值范围.

（1）令，则在上为减函数，

因为，所以当时，，

不等式恒成立，等价于，解得，

故命题为真，实数的取值范围为.

（2）若命题为真，则，对上恒成立，

令，因为在上为单调增函数，

则，故，即命题为真，

若为假，为真，则命题，中一真一假；

①若为真，为假，那么，则无解；

②若为假，为真，那么，则.

综上的取值范围为.