Question

1．已知m≠0，设x₁，x₂是关于x的方程x²+2mx+m²-2=0的两个不等实数根，那么随着m的变化，对于过两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线与圆x²+（y-3）²=$\frac{1}{2}$的位置关系，下列描述正确的是（　　）

• A． 一定相离
• B． 一定相切
• C． 当m＞0时直线与圆相离，当m＜0时直线与圆相交
• D． 当|m|＜$\sqrt{2}$时直线与圆相离，当|m|＞$\sqrt{2}$时直线与圆相交

Answer 1

分析 先确定两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．

解答 解：由题意，x₁+x₂=-2m，x₁x₂=m²-2，
过两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线方程为y-x₁²=-2m（x-x₁），
即2mx+y-x₁²-2mx₁=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|3-{{x}_{1}}^{2}-2m{x}_{1}|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$=$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$，
∵（$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$）²-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{2{m}^{4}+1}{8{m}^{2}+2}$＞0，
∴$\frac{|{m}^{2}+1|}{\sqrt{4{m}^{2}+1}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴过两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线与圆x²+（y-3）²=$\frac{1}{2}$一定相离，
故选：A．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定直线方程是关键．