Question

9．在平面直角坐际系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的-个定点，若以AB为直径的圆与圆x²+（y-2）²=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设O₂（a，0），圆O₂的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x²+（y-2）²=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．

解答 解：设O₂（a，0），圆O₂的半径为r（变量），OP=t（常数），则
tan∠OPA=$\frac{a-r}{t}$，tan∠OPB=$\frac{a+r}{t}$，
∴tan∠APB=$\frac{\frac{a+r}{t}-\frac{a-r}{t}}{1+\frac{{a}^{2}-{r}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$，
∵$\sqrt{{a}^{2}+4}$=|r+1|，
∴a²=（r+1）²-4，
∴tan∠APB=$\frac{2rt}{{t}^{2}+2r-3}$=$\frac{2t}{\frac{{t}^{2}-3}{r}+2}$，
∵∠APB的大小恒为定值，
∴$t=\sqrt{3}$，
∴|OP|=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．