题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论的单调区间;
(2)证明:若,对任意的
,有
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)先求导得到,令
,通过对判别式
的讨论得到
的单调区间;(2)不妨设
,要证明
,只需证明
,令
再利用导数证明即得证.
(1)
令
当时,即
时,
恒成立,
所以的单调增区间是
,无减区间.
当时,即
或
,
设的两个零点为
,
若,因为
,所以
都大于0,
所以当时
,
单调递增
当时
,
单调递减
当时
,
单调递增
若,
,当
即
时,
都不为正数,所以当
时
,
单调递增.
当时,即
时,
,
所以当时
,
单调递减
当时
,
单调递增.
综上所述,当时,
的单调递减区间为
,
的单调递增区间为
,
当时,
的单调增区间是
,无减区间.
当时,
的单调递减区间为
的单调递增区间为
,
(2)不妨设,要证明
,只需证明
,只需证明
令
因为,所以
,
在
是增函数,所以
时
,
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付方式 | (0,1000] | (1000,2000] | 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.