Question

【题目】已知某家企业的生产成本z（单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，其解析式分别为：z=x3﹣18x2+75x﹣80，ω=15x
（1）试写出该企业获得的生产利润y（单位：万元）与产量x（单位：t）之间的函数解析式；
（2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵生产成本z（单位：万元）

和生产收入ω（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，

其解析式分别为：z=x3﹣18x2+75x﹣80，ω=15x

∴该企业获得的生产利润y（单位：万元）与产量x（单位：t）之间的函数解析式：

y=﹣x3+18x2﹣60x+80（x≥0）

（2）解：∵y=﹣x3+18x2﹣60x+80（x≥0），

∴y′=﹣3x2+36x﹣60，

由y′=0，得x=2或x=10，

当x∈[0，2）时，y′＜0；当x∈[2，10）时，y′＞0；

当x∈（10，+∞）时，y′＜0，

∴f（x）极大值=f（10）=280．

∴产量为10t时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元

【解析】（1）由题意，利用销售收入减去生产成本，可得生产利润函数；（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最大值．