Question

【题目】如图,五面体A﹣BCC1B1中,AB1＝4.底面ABC 是正三角形,AB=2.四边形BCC1B1是矩形,二面角A﹣BC﹣C1为直二面角.

（1）D在AC上运动,当D在何处时,有AB1//平面BDC1,并且说明理由；

（2）当AB1//平面BDC1时,求二面角C﹣BC1﹣D余弦值.

Answer 1

【答案】（1）当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,理由见解析；（2）.

【解析】

(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,再连接B1C交BC1于O,连接DO,进而证明DO//AB1即可.

(2)以为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面与面的法向量,继而求得二面角的余弦值即可.

(1)当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,

证明：连接B1C交BC1于O,连接DO

∵四边形BCC1B1是矩形

∴O为B1C中点又D为AC中点,从而DO//AB1,

∵AB1平面BDC1,DO平面BDC1

∴AB1//平面BDC1

(2)建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示,则B（0,0,0）,A（,1,0）,C（0,2,0）,D（,,0）,C1（0,2,2）,

所以（,,0）,（0,2,2）.

设为平面BDC1的法向量,则有,即

令,可得平面BDC1的一个法向量为（3,,1）,

而平面BCC1的一个法向量为,

所以cos,,故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为.