题目内容
12．在公差不为0的等差数列{an}中，a2，a4，a8成公比为a2的等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足bn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k，k∈{N}^{+}}\\{2{a}_{n}，n=2k-1，k∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．
①求数列{bn}的前n项和为Tn；
②令c2n-1=$\frac{{b}_{2n}}{{b}_{2n-1}}$（n∈N+），求使得c2n-1＞10成立的所有n的值．
分析 （I）设等差数列{an}的公差为d，通过$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，计算即可；
（II）通过（I）知bn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，①分n为偶数、n为奇数讨论即可；②c2n-1=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，令t=2n-1，则c2n-1＞10转化为${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，讨论数列{ct}的单调性即可．
解答 解：（I）设等差数列{an}的公差为d，
由题可知$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{4}}^{2}={a}_{2}•{a}_{8}}\\{{a}_{4}={a}_{2}•{a}_{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得a1=d=1，
∴an=n （n∈N*）；
（II）由（I）知bn=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
①当n为偶数，即n=2k时，奇数项和偶数项各$\frac{n}{2}$项，
∴Tn=[2+6+…+2（n-1）]+（22+24+26+…+2n）
=$\frac{\frac{n}{2}（2+2n-2）}{2}$+$\frac{{2}^{2}[1-（{2}^{2}）^{\frac{n}{2}}]}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}$；
当n为奇数，即n=2k-1时，n+1为偶数，
∴Tn=Tn+1-an+1
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+3}-4}{3}-{2}^{n+1}$
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}$，
综上所述，Tn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k，n∈{N}^{*}}\\{\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$；
②c2n-1=$\frac{{b}_{2n}}{{b}_{2n-1}}$=$\frac{{2}^{2n}}{2（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，
令t=2n-1，则c2n-1＞10转化为${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，
∵$\frac{{c}_{t+1}}{{c}_{t}}$=$\frac{{2}^{t+1}}{t+1}•\frac{t}{{2}^{t}}$=$\frac{2t}{t+1}$≥1，
当且仅当t=1时取等号，
∴ct+1＞ct＞ct-1＞…＞c2=c1，
∵c5=$\frac{{2}^{5}}{5}＜10$，${c}_{6}=\frac{{2}^{6}}{6}＞10$，
∴2n-1≥6，解得n$≥\frac{7}{2}$，
∴当n≥4，n∈N*时，c2n-1＞10．
点评 本题考查数列的通项公式，前n项和公式，考查分类讨论的思想，考查换元法，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于难题．
（1）f（x）是定义域为R的奇函数；
（2）f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调递增；
（3）对于任意的${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，都有（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]≥0．
其中真命题的序号是（ ）
| A． | （1）（2） | B． | （1）（3） | C． | （2）（3） | D． | （1）（2）（3） |
| A． | $\frac{29}{2}$ | B． | $\frac{21}{2}$ | C． | -$\frac{11}{2}$ | D． | $\frac{11}{2}$ |
| A． | y=x-1 | B． | y=ln（x+1） | C． | y=（$\frac{1}{2}$）x | D． | y=x+$\frac{1}{x}$ |