Question

20．若2×4^a-2^a×3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，求2^a+3^b的最大值．

Answer 1

分析 先设设2^a=m，3^b=n，再利用基本不等式得到$\frac{3}{4}$（m+n）²-（m+n）-1≤0，再设m+n=t，t＞0，得到关于t的不等式，解得即可得到2^a+3^b的最大值

解答 解：设2^a=m，3^b=n，
∵2×4^a-2^a×3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，
∴2m²-mn+2n²=m+n+1，
∴2m²+4mn+2n²=m+n+1+5mn，
∴2（m+n）²≤m+n+$\frac{5}{4}$（m+n）²+1，当且仅当m=n时取等号，即a=b=0时取等号，
再设m+n=t，t＞0，
∴$\frac{3}{4}$t²-t-1≤0，
解得0＜t≤2，
故t的最大值为2，
即2^a+3^b的最大值为2．

点评 本题考查了基本不等式的应用以及不等式的解法，关键是换元，属于中档题．