Question

【题目】已知点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，点F是抛物线C的焦点，点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C. +1
D. +1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：点A（0，﹣1）是抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上的一点，可得p=2， 抛物线的标准方程为x2=4y，
则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，
过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则 =m，
设PA的倾斜角为α，则sinα=m，
当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，
可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PF|=2（ ﹣1），
∴双曲线的离心率为 = +1．
故选：C．