Question

（2011•惠州模拟）已知点P是圆F1：(x+1)2+y2=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P，Q两点，若

OP

•

OQ

=0（O为坐标原点），试求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意判断点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，进而可求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，

OP

•

OQ

=0，即可求得直线l在y轴上截距的取值范围．

解答：解：（1）由题意得，F₁（-1，0），F₂（1，0），圆F₁的半径为2

2

，且|MF₂|=|MP|…（1分）
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=2

2

＞|F1F2|…
（3分）
∴点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴2a=2

2

，得到a=

2

，焦距2c=2，∴短半轴b=1
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1…
（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+n，由

y=kx+n x2 2 +y2=1

，消元可得（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0
则△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①…（8分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

由

OP

•

OQ

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0…（10分）
整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0…
（12分）
即

(k2+1)(2n2-2)

2k2+1

+kn•(

-4kn

2k2+1

)+n2=0
化简可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

，
故直线l在y轴上截距的取值范围是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．    …（14分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义，联立直线与椭圆方程，属于中档题．