题目内容
【题目】对于函数,若在定义域内存在实数x,满足
,其中k为整数,则称函数
为定义域上的“k阶局部奇函数”.
(1)已知函数,试判断
是否为
上的“2阶局部奇函数”?并说明理由;
(2)若是
上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若,对任意的实数
,函数
恒为
上的“k阶局部奇函数”,求整数k取值的集合.
【答案】(1)是,理由见解析;(2);(3)
【解析】
(1)根据题意,为
上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程
在
上有解,列出方程,解方程即可;
(2)由“1阶局部奇函数”的定义,列出方程,讨论方程成立并有解时参数的取值范围;
(3)根据“k阶局部奇函数”的定义,转化对任意的实数,函数
恒为
上的“k阶局部奇函数”,为
对任意的实数
恒成立问题,讨论二次项系数是否为零,不为零时讨论
恒成立,再令
,求解
,即可.
(1)为
上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程
在
上有解,即:
,
化简得:,
解得:
所以是
上的“2阶局部奇函数”.
(2)由是
上的“1阶局部奇函数”,
且要满足
,所以
.
因为是
上的“1阶局部奇函数”,等价于关于x的方程
在有解,即
,化简得:
,
所以,
又,所以
.
(3)因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程
恒有解.
即,化简得:
,
当时,解得
,所以
满足题意;
当时,
,即:
对任意的实数
恒成立,
即对任意的实数
恒成立,
令,
是关于t的一次函数且为
上的增函数
则,即:
,解得:
且
综上,整数k取值的集合.
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