题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
,
,
,
为线段
上一点,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求点到平面
的距离;
(3)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
(1)取中点
,连接
,根据已知条件,可证四边形
为平行四边形,即可得证结论;
(2)点到平面
的距离,即为点
到平面
的距离,求出
,
的面积,
等体积法,即可求出结论;
(3)由(2)的结论,得出直线与平面所成的角,解直角三角形,即可求解.
(1)证明:取中点
,连接
,
∵为
的中点,∴
,且
,
又,且
,
∴,且
,
则,且
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
又∵平面
.
平面
,
∴平面
.
(2)取的中点
,连接
,∵
,
∴且
,∴四边形
是矩形,
∴,又∵
平面
,∴
,
∴平面
且
,
过点作
平面
于
,
则即为点
到平面
的距离.
∵,∴
,
,∴
.
(3)连接由(2)知
即为直线
与平面
所成的角,
在中,
,
,∴
,
又∵是
的中点,
∴,
∴,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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