Question

（2013•茂名一模）已知函数g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

Answer 1

分析：（1）若a=1时，g(x)=

1

3

x3+2x2-2x，求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答：解：（1）当a=1时，g(x)=

1

3

x3+2x2-2x，g′(x)=x2+4x-2…（2分）
由g'（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

…（4分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为(-2-

6

，-2+

6

)；…（5分）
（2）易知f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-

2

a

＜0…（7分）
①当-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2时，M∈(-

2

a

，0)且f（M）=-4令ax²+4x-2=-4解得x=

-2± 4-2a

a

…（8分）
此时M取较大的根，即M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2

4-2a +2

＞-1…（10分）
②当-2-

4

a

≥-4即a≥2时，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得x=

-2± 4+6a

a

…（11分）
此时M取较小的根，即M=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-6

4+6a -2

≥-3当且仅当a=2时取等号…（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3  …（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．