Question

（2013•茂名一模）如图所示，角A为钝角，且cosA=-

4

5

，点P，Q分别在角A的两边上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=

12

13

，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将cosA，AP与AQ的值代入计算即可求出PQ的长；
（2）由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用三角形的内角和定理及诱导公式变形求出sin（α+β）与cos（α+β）的值，将所求式子变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵A是钝角，cosA=-

4

5

，AP=5，AQ=2，
在△APQ中，由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，
∴PQ²=5²+2²-2×5×2×（-

4

5

）=45，
∴PQ=3

5

；
（2）∵α为三角形的角，cosα=

12

13

，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

13

，
又sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=cos（π-A）=-cosA=

4

5

，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．