Question

20．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x-2|-2}$；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据奇函数的定义，先分析函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}1-x≥0\\ 1+x≥0\\|x-2|-2≠0\end{array}\right.$得x∈[-1，0）∪（0，1]，
即函数的定义域关于原点对称，
则f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x-2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{-x}$，
f（-x）=$\frac{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}}{x}$=-f（x），
故函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x-2|-2}$为奇函数；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$的定义域（-∞，0）∪（0，∞）关于原点对称，
当x＜0时，-x＞0，此时f（x）=x²+x，f（-x）=-（-x）²-x=-（x²+x）=-f（x），
当x＞0时，-x＜0，此时f（x）=-x²+x，f（-x）=（-x）²-x=-（-x²+x）=-f（x），
综上所述：f（-x）=-f（x）恒成立，
故函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$为奇函数．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，熟练掌握判断函数奇偶性的方法步骤是解答的关键．