Question

4．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂），且当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数“凑”的原则，分别令x₁=x₂=1，即可求出f（1）的值；
（2）由单调性定义，0＜x₁＜x₂，化简得到f（x₁）＞f（x₂），即得到函数为减函数；
（3）令x₁=9，x₂=3，求得f（9）=-2，再根据函数的定义域和单调性即可求出不等式的解．

解答 解：（1）∵f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂），
∴令x₁=x₂，则f（1）=0；
（2）定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）为减函数，
理由如下：设0＜x₁＜x₂，
则0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∵0＜x＜1时，f（x）＞0，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为减函数．
（3）令x₁=9，x₂=3，
则f（3）=f（9）-f（3），
∴f（9）=2f（3）=-2，
∵f（|x|）＜-2．
∴f（|x|）＜f（9），
∴|x|＞9，
∵x∈（0，+∞），
∴x＞9，
∴不等式f（|x|）＜-2的解集为（9，+∞）

点评 本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性，注意运用定义，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．