Question

13．设x，y∈R₊，且x²+$\frac{1}{4}$y²=1，则x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 可先求平方的最大值，结合条件由x²（1+y²）=$\frac{1}{4}$•4x²（1+y²），运用基本不等式，即可最大值，并求得等号成立的条件．

解答 解：由x²+$\frac{1}{4}$y²=1，即4x²+y²=4，
x²（1+y²）=$\frac{1}{4}$•4x²（1+y²）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{4{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}$）²
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{4+1}{2}$）²=$\frac{25}{16}$，
当且仅当4x²=1+y²=$\frac{5}{2}$，即有x²=$\frac{5}{8}$，y²=$\frac{3}{2}$，取得等号．
则x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，注意满足的条件：一正二定三等，属于中档题．