Question

4．已知a+2b=2，a＞0，b＞0，则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 a+2b=2，a＞0，b＞0，可得b=$\frac{2-a}{2}$＞0，解得0＜a＜2．于是$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$=$\frac{1}{2a}+\frac{4a}{2-a}$=f（a），利用导数研究其极值与最值即可得出．

解答 解：∵a+2b=2，a＞0，b＞0，
∴b=$\frac{2-a}{2}$＞0，解得0＜a＜2．
则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$=$\frac{1}{2a}+\frac{4a}{2-a}$=f（a），
f′（a）=$\frac{5（3a+2）（a-\frac{2}{5}）}{2（{a}^{2}-2a）^{2}}$，
当0$＜a＜\frac{2}{5}$时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减；当$\frac{2}{5}＜a＜2$时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增．
∴当a=$\frac{2}{5}$$（b=\frac{4}{5}）$时，函数f（a）取得极小值即最小值，
$f（\frac{2}{5}）$=$\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}{b}$的最小值是$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了利用导数研究其极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．