Question

如图，三棱锥P-ABC的顶点P在圆柱曲线O₁O上，底面△ABC内接于⊙O的直径，且∠ABC=60°，O₁O=AB=4，⊙O₁上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点．
（1）设三棱锥P-ABC的体积为，求证：DO⊥平面PAC；
（2）若⊙O上恰有一点F满足DF⊥平面PAC，求二面角D-AC-P的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：法一（几何法）：（1）连接DE，OE，，设OE与AC的交点为G，连接PG，由题设条件知可先证明DO⊥AC，再证明DO⊥PG，然后由线面垂直的判断定理证明DO⊥平面PAC；
（2）由题设条件及图知，可证明∠DGP即为二面角D-AC-P的平面角，然后在△DGP中，由余弦定理可求得．
法二（空间向量法）：（1）可建立空间坐标系，求出直线DO的方向向量与平面PAC内两条相交直线的方向向量，然后根据向量的数量积为0证明此线垂直于平面内两条相交直线，从而由线面垂直的判定定理证明得线面垂直；
（2）由题意可得DF⊥平面PAC，设点F的坐标为（x，y，0），故即为平面PAC的法向量，设平面DAC的法向量，由题设条件建立方程解出此两向量的坐标，求出此向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角．
解答：解：法一：（1）连接DE，OE，，设OE与AC的交点为G，连接PG，因为三角形ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，所以三角形ABC为直角三角形，
又∠ABC=60°，AB=4，又，所以，故，
因为E是劣弧AC的中点，所以，
又因为DE⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO₁，故DO⊥AC．
在矩形DEOO₁中，，，
故∠PGO=∠DOO₁，
又，故∠PGO+∠DOG=90°，
所以DO⊥PG，
所以DO⊥平面PAC．
（2）由（1）知，AC⊥平面DEOO₁，
所以平面DEOO₁⊥平面PAC，
因为DF⊥平面PAC，
所以DF?平面DEOO₁，且DF⊥PG，
又F在圆O上，故点F即为点E关于点O的对称点，在轴截面内可求得PO=OG=1，
所以．
由AC⊥平面DEOO₁，得∠DGP即为二面角D-AC-P的平面角，
在△DGP中，由余弦定理可求得
 法二：（1）在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，
如图建立空间直角坐标系，因为△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC=60°，AB=4，
故，
所以，
故，
故 
所以 
所以
故AC⊥OD，AP⊥OD，
又AC∩AP=A，
所以DO⊥平面PAC．
（2）设点F的坐标为（x，y，0），
故．
因为DF⊥平面PAC，故DF⊥AC，
所以，
又因为F点在圆O上，所以x²+y²=4解得或（即为点E，舍去），所以，
设平面DAC的法向量，
则有，，即，
取，则．
则，
由图知D-AC-P的二面角为锐角，所以二面角D-AC-P的余弦值为．
点评：本题考查线面垂直的证明与二面角的求法，是立体几何中的常规题，解答本题常用的方法有向量法与几何法，本题给出两种解法，学习时要注意对比两种解题方法的优劣，体会向量法解立体几何问题的优势