Question

6．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），若数列：2，f（a₁），f（a₂）…f（a_n），2n+4（n∈N⁺）成等差数列
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）若0＜a＜1，数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的表达式
（3）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），对任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式求得公差为2，即可得出所求通项；
（2）运用等比数列的求和公式，即可得到所求；
（3）利用数列的单调性，求得b_n的最小值，由不等式恒成立思想，结合反函数知识，即可得出t的范围．

解答 解：（1）设公差为d，
由2n+4=2+（n+2-1）d，
解得d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
由函数f（x）=log_ax，
可得log_aa_n=2n+2，
∴a_n=a²ⁿ⁺²．
（2）数列{a_n}为首项为a⁴，公比为a²，
则S_n=$\frac{{a}^{4}（1-{a}^{2n}）}{1-{a}^{2}}$；
（3）b_n=a_n•f（a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•2²ⁿ⁺³，
$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{2n+5}}{（n+1）•{2}^{2n+3}}$=$\frac{n+2}{n+1}$•4＞1，
∴{b_n}为递增数列．
即有b_n中的最小项为b₁=2•2⁵=2⁶，
由任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），
可得f^-1（t）＜2⁶，
又f^-1（t）=2^t，
∴t＜6．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．