题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
底面ABCD,
,
,
.
Ⅰ
求证:
平面PAC;
Ⅱ
若侧棱PC上的点F满足
,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
试题(1)由于可以证明
要证明
只需证明
从而
中的两条相交直线,
(2)由(1)知
为等腰三角形,面积容易求出,考虑以BCD为底面.F为顶点 的三棱锥,以及以BCD为底面,P为顶点的三棱锥面积容易求出,所以
试题解析:(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,
又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直, 所以BD⊥平面PAC.
(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=
×2×2×sin
=
.
由PA⊥底面ABCD,得=
·S△BCD·PA=
×
×2
=2.
由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,
故=
·S△BCD·
PA=
×
×
×2
=
,
所以=
-
=2-
=
.
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