题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面ABCD,,,.
Ⅰ求证:平面PAC;
Ⅱ若侧棱PC上的点F满足,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
试题(1)由于可以证明要证明只需证明从而中的两条相交直线,(2)由(1)知为等腰三角形,面积容易求出,考虑以BCD为底面.F为顶点 的三棱锥,以及以BCD为底面,P为顶点的三棱锥面积容易求出,所以
试题解析:(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,
又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直, 所以BD⊥平面PAC.
(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=.
由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2.
由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,
故=·S△BCD·PA=×××2=,
所以=-=2-=.