题目内容

已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B
（1）求证：
OA
•
OB
为常数；
（2）求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程．
将y=k（x+2）代入y2=8x，整理得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，
∵动直线l与抛物线C交于不同两点A、B，
∴k≠0且△＞0，即
k≠0
(4k2-8)2-16k4＞0
解得：-1＜k＜1且k≠0．
设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1+x2=
8
k2
-4，x1x2=4．
（1）证明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(
8
k2
-4)+4k2=20，
∴
OA
•
OB
为常数．
（2）
OM
=
OA
+
OB
=(x1，y1)+(x2，y2)=（x1+x2，y1+y2）=（x1+x2，k（x1+x2+4））=(
8
k2
-4，
8
k
)．
设M（x，y），则
x=
8
k2
-4
y=
8
k
消去k得：y2=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k2＜1，
1
k2
＞1，∴x=
8
k2
-4＞4，
∴点M的轨迹方程为y2=8x+32（x＞4）
练习册系列答案
相关题目
双曲线E的渐近线方程为y=±
4
3
x，且经过点(2
3
，
4
3
3
)
（1）求双曲线E的方程；
（2）F1，F2为双曲线E的两个焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
AM
=λ
AB
，证明：λ+e2=1；
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．
在同一坐标系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）
A．B．C．D．
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k1、k2．
（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；
（2）求证：k1+k2=0．
在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
满足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A1且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A1BC为正三角形．
如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过（0，
1
2
）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．
在直线l：x-y+9=0上任取一点M，过M作以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．

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