Question

已知数列{a_n}满足以下两个条件：①点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，②首项a₁是方程3x²-4x+1=0的整数解，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，解不等式T_n≤S_n．

Answer 1

分析：（I）根据已知a₁=1，a_n+1=a_n+2，所以数列{a_n}是一个等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）数列{a_n}的前n项和S_n=n²，b_n=3^n-1，所以数列{b_n}的前n项和Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，由T_n≤S_n，知

3n-1

2

≤n2，由此能解出n的值．

解答：解：（I）根据已知a₁=1，a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2=d，（2分）
所以数列{a_n}是一个等差数列，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1（4分）
（II）数列{a_n}的前n项和S_n=n²（6分）
等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，所以q=3，b_n=3^n-1（9分）
数列{b_n}的前n项和Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

（11分）
T_n≤S_n即

3n-1

2

≤n2，又n∈N^*，所以n=1或2（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列前n项和的应用．