Question

4．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x没有实数根，那么f（f（x））=x是否有实数根？并证明你的结论．

Answer 1

分析 由题意化简f（f（x））-x=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]，从而化为解方程a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0；再由判别式判断即可．

解答 解：f（f（x））=x没有实数根，证明如下，
f（f（x））-x=af²（x）+bf（x）+c-x
=af²（x）-axf（x）+axf（x）-ax²+bf（x）-bx+ax²+bx+c-x
=af（x）[f（x）-x）]+ax[f（x）-x]+b[f（x）-x]+f（x）-x
=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]=0，
∵f（x）=x没有实数根，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
且af（x）+ax+b+1=0；
即a（ax²+bx+c）+ax+b+1=0
a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0
△=（ab+a）²-4a²（ac+b+1）=a²[（b-1）²-4ac-4]＜-4a²＜0，
∴f[f（x）]=x一定没有实数根．

点评 本题考查了方程的根与复合函数的应用，同时考查了复合函数的化简与因式分解的应用，化简比较困难，属于中档题．