题目内容
3.已知椭圆M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)经过点A(-2,0)和点Q(1,e),其中e是椭圆M的离心率,(1)求椭圆M的方程
(2)若点B与点A关于原点对称,动点T满足TB⊥x轴,连接AT交椭圆M于点P(异于点A),在x轴上是否存在定点C,使得BP⊥TC?若存在,求出定点C的坐标,若不存在,请说明理由.
分析 (1)由题意可得a=2,运用离心率公式,代入点(1,e),解方程即可得到b=1,进而得到椭圆方程;
(2)设P(x0,y0),则直线AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2),由已知条件推导出T(2,$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$)设定点C(m,0),由TC⊥PB,得到$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1,由此能求出定点C(1,0).
解答 解:(1)由椭圆经过点A(-2,0),可得a=2,
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2}$,b2+c2=4,
∵椭圆C经过点Q(1,e),可得$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{b}^{2}}$=1,
解得a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$,
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1;
(2)设P(x0,y0),则直线AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2),
∵A(-2,0)、B(2,0)是椭圆C的左、右顶点,动点M满足TB⊥AB,
∴T(2,$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$),
假设存在定点C(m,0),
∵TC⊥PB,
∴kTC•kPB=-1,即$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1,
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y02=1,
∴-$\frac{1}{4}$•$\frac{4}{2-m}$=-1,解得m=1,
∴定点C(1,0).
点评 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用.
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | e2 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | e-2 |
A. | (-2,0)和(2,0) | B. | (0,-2)和(0,2) | C. | (-1,0)和(1,0) | D. | (0,-1)和(0,1) |
x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
y | 5 | 6 | 5 | 9 | 10 |
身高x(cm) | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 |
体重y(kg) | 63 | 70 | 72 | 74 |