题目内容
8．函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的最大值为（ ）| A． | 5 | B． | 3 | C． | $\frac{1}{5}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
分析 先确定函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的定义域，再讨论以利用基本不等式求函数的最大值．
解答 解：函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的定义域为[1，+∞），
①当x=1时，y=0；
②当x＞1时，
y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$=$\frac{\sqrt{x-1}}{x-1+\sqrt{x-1}+4}$
=$\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{4}{\sqrt{x-1}}+1}$；
∵$\sqrt{x-1}$+$\frac{4}{\sqrt{x-1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x-1}•\frac{4}{\sqrt{x-1}}}$=4，
∴$\sqrt{x-1}$+$\frac{4}{\sqrt{x-1}}$+1≥5；
故0＜$\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{4}{\sqrt{x-1}}+1}$≤$\frac{1}{5}$；
故函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的最大值为$\frac{1}{5}$；
故选：C．
点评 本题考查了函数的化简与运算及分类讨论的思想应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
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