题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程是
.
()如果圆
与直线
没有公共点,求实数
的取值范围;
()如果圆
过坐标原点,过点
直线
与圆
交于
,
两点,记直线
的斜率的平方为
,对于每一个确定的
,当
的面积最大时,用含
的代数式表示
,并求
的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由可得
,圆
与直线
无公共点,
∴,即
,所以
;(2)圆
过坐标原点,可得
,圆
方程为
,圆心
,半径为
,设直线
的方程为
,∴当
最大时,
取最大值.只需点
到直线
的距离
,可得
或
,对
讨论两种情况,可得
,两段分别求出最大值,较大的就是
的最大值
试题解析:( )由
可得
,
∵,表示圆,
,即
,
又∵圆与直线
无公共点,
∴,即
,
综上, .
()∵圆
过坐标原点,
∴,圆
方程为
,
圆心,半径为
,
当时,直线
经过圆心
,
不存在,故
.
由题意设直线的方程为
,
的面积为
,
则,
∴当最大时,
取最大值.
当,只需点
到直线
的距离等于
,
即.
整理得: ,
解出或
.
①当时,
最大值为
,
此时,即
.
②当时,
,
∵是
上的减函数,
∴当最小时,
最大,
过作
于
点,则
,
∴当最大时,
最小,
∵,且
,
∴当最大时,
取得最大值,即
最大,
∵,
∴当时,
取得最大值
,
∴当面积最大时,直线
的斜率
,
∴,
综上, ,
∴当时,
,
当或
时,
取得最大值
,
当时,
.
∴综上所述, .
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