Question

10．如图，△ABC中，BC=10，以 BC 为直径的圆分别交 AB，AC于点 E，F．
（1）求证：∠AFE=∠ABC；
（2）若AC=2AE，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）B，E，F，C四点共圆，可得：∠AFE=∠ABC；
（2）证明△AEF∽△ACB，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$，利用AC=2AE，即可求EF的长．

解答 （1）证明：由题意，
∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴B，E，F，C四点共圆，
∴∠AFE=∠ABC
（2）解：∵∠EAF=∠CAB，∠AFE=∠ABC
∴△AEF∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$，
∵BC=10，AC=2AE，
∴EF=5．

点评 本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于中档题．