Question

18．设A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0）是椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+y²=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．
（Ⅰ） 若点A横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+y²=（$\frac{m}{m+2}$）²上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对称性结合A的横坐标可得A的纵坐标，代入椭圆方程可求m的值；
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），由于A，E均在椭圆T上，则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+（m+1）{{y}_{0}}^{2}=m+1①}\\{{{x}_{1}}^{2}+（m+1）{{y}_{1}}^{2}=m+1②}\end{array}\right.$，联立可得BD所在直线方程，再由k_AE•k_AC=-1求出CE所在直线方程，联立两直线方程把Q的坐标用A的坐标表示，代入椭圆方程证得答案．

解答 （Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故$\frac{3}{m+1}=1$，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（-x₀，y₀），C（-x₀，-y₀），D（x₀，-y₀），四边形ABCD为矩形，
设E（x₁，y₁），由于A，E均在椭圆T上，则
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+（m+1）{{y}_{0}}^{2}=m+1①}\\{{{x}_{1}}^{2}+（m+1）{{y}_{1}}^{2}=m+1②}\end{array}\right.$，
由②-①得：（x₁+x₀）（x₁-x₀）+（m+1）（y₁+y₀）（y₁-y₀）=0，
显然x₁≠x₀，从而$\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}=-\frac{1}{m+1}•\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{{y}_{1}-{y}_{0}}=-\frac{1}{m+1}$$•\frac{1}{{k}_{AE}}$=$\frac{1}{m+1}•{k}_{AC}=\frac{1}{m+1}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵AE⊥AC，∴k_AE•k_AC=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x}\\{y+{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}（x+{x}_{0}）=\frac{1}{m+1}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}（x+{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{m+2}{m}x}\\{{y}_{0}=-\frac{m+2}{m}y}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程，知$\frac{{x}^{2}}{m+1}+{y}^{2}=（\frac{m}{m+2}）^{2}$．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．