题目内容

已知函数),
(Ⅰ)证明:当时,对于任意不相等的两个正实数,均有成立;
(Ⅱ)记,若上单调递增,求实数的取值范围;

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)当时,对于任意不相等的两个正实数,均有成立,只需求出的解析式,两式作差得,判断符号即可证明;(Ⅱ)记,若上单调递增,求实数的取值范围,首先求出的解析式,从而得,若它在上单调递增,即它的导函数在上恒大于零,得恒成立,这是恒成立问题,只需把含有的放到不等式的一侧,不含的放到不等式的另一侧,即,转化为求的最大值问题,可利用导数求出最大值,从而可得实数的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)证明: ,

,则  ①
,则,②
由①②知
(Ⅱ)
,则上单调递增.
,则当时,恒成立,
即当时,恒成立.
,则当时,
上单调递减,从而
.(14分)
考点:作差法证明不等式,函数的导数与单调性,导数与不等式.

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