题目内容
已知函数(
,
),
.
(Ⅰ)证明:当时,对于任意不相等的两个正实数
、
,均有
成立;
(Ⅱ)记,若
在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)当时,对于任意不相等的两个正实数
、
,均有
成立,只需求出
与
的解析式,两式作差得
,判断符号即可证明;(Ⅱ)记
,若
在
上单调递增,求实数
的取值范围,首先求出
的解析式,从而得
,若它在
上单调递增,即它的导函数在
上恒大于零,得
恒成立,这是恒成立问题,只需把含有
的放到不等式的一侧,不含
的放到不等式的另一侧,即
,转化为求
的最大值问题,可利用导数求出最大值,从而可得实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)证明: ,
,
,则
①
,则
,②
由①②知.
(Ⅱ),
,
令,则
在
上单调递增.
,则当
时,
恒成立,
即当时,
恒成立.
令,则当
时,
,
故在
上单调递减,从而
,
故.(14分)
考点:作差法证明不等式,函数的导数与单调性,导数与不等式.

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