Question

15．已知A（-3，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|
（1）求P的轨迹方程C；
（2）若直线l与x+y+3=0平行且与C相切，求l方程．

Answer 1

分析 （1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|，整理即得点P的轨迹方程；
（2）设l方程为x+y+c=0，利用圆心到直线的距离d=r，求出c，即可求l方程．

解答 解：（1）设P点的坐标为（x，y），
∵两定点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
∴此曲线的方程为（x-5）²+y²=16．
（2）设l方程为x+y+c=0，则圆心到直线的距离d=$\frac{|5+c|}{\sqrt{2}}$=4，
∴c=-5±4$\sqrt{2}$，
∴l方程为x+y-5±4$\sqrt{2}$=0．

点评 考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题．