题目内容
如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R，
(1)求动点R的轨迹E的方程；
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记
=λ1
，
=λ2
，求证：λ1+λ2为定值．
(1)求动点R的轨迹E的方程；
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记
=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值． 
解：(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则x+y=4，
由题意可知y0≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：-
，
故切线方程为：y-y0=-
(x-x0)，
展开得x0x+y0y=x02+y02=4，
即以H为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(-2，
)，D(2，
)，
则lAD：
，①，
及lBC：
，②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x2+4y2=4，即
+y2=1。
(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(
，0)，
(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，
不妨设M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此时有|PM|=2，|MF|=2-
，|PN|=2，|NF|=2+
，
所以λ1+λ2=
；
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：x=my+
(m≠0)，
则点P的坐标为(0，-
)，
且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去x可得：(m2+4)y2+2
my-1=0，
则y1+y2=
，y1y2=
，
λ1+λ2=
=-8(定值)．
由题意可知y0≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：-
，故切线方程为：y-y0=-
(x-x0)，展开得x0x+y0y=x02+y02=4，
即以H为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(-2，
)，D(2，)，则lAD：
，①，及lBC：
，②将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x2+4y2=4，即
+y2=1。(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(
，0)，(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，
不妨设M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此时有|PM|=2，|MF|=2-
，|PN|=2，|NF|=2+，所以λ1+λ2=
；(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：x=my+
(m≠0)，则点P的坐标为(0，-
)，且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去x可得：(m2+4)y2+2my-1=0，则y1+y2=
，y1y2=，λ1+λ2=
=-8(定值)．
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（2011•临沂二模）如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的交点为R．
，求证：λ1+λ2为定值。 
