Question

如图，过圆x²+y²=4与x轴的两个交点A，B，作圆的切线AC，BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC，BD于C，D两点，设AD，BC的交点为R，
(Ⅰ)求动点R的轨迹E的方程；
(Ⅱ)过曲线E的右焦点作直线l交曲线E于M，N两点，交y轴于P点，且记，求证：λ₁+λ₂为定值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设点H的坐标为，则，
由题意，可知，且以H为切点的圆的切线的斜率为，
故切线方程为，
展开得，
即以H为切点的圆的切线方程为，
∵，将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为，
则， ①
及，②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为，即。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为，
(ⅰ)当直线l斜率为0时，M，N，P三点在x轴上，不妨设，且，
此时有，，
所以，。
(ⅱ)当斜率不为0时，设直线MN的方程为，
则点P的坐标为，
且设点，
联立，消去x，得，
则，

（定值）。