Question

15．求函数y=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 法1：x=0时，可以求出y=1，而x≠0时，可将原函数变成$y=1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$，这样可看出需讨论x＞0和x＜0，对于每种情况可根据基本不等式求出$x+\frac{1}{x}$的范围，进而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$的范围，从而得出y的范围，从而最后对求得的y值和y的范围求并集即可得出原函数的值域．
法2：由原函数得，yx²+yx+y=x²+1，利用判别式法可得答案．

解答 解：法1：①x=0时，y=1；
②x≠0时，$y=\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}=\frac{{x}^{2}+x+1-x}{{x}^{2}+x+1}=1-\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$；
1）x＞0时，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}≤\frac{1}{3}$；
∴$\frac{2}{3}≤y＜1$；
2）x＜0时，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1时取“=”；
∴$-1≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}＜0$；
∴1＜y≤2；
∴综上得原函数的值域为$[\frac{2}{3}，2]$．
法2：由原函数得，yx²+yx+y=x²+1；
整理得，（y-1）x²+yx+y-1=0，看成关于x的方程，方程有解；
①若y=1，x=0，满足方程有解；
②若y≠1，则：△=y²-4（y-1）²≥0；
解得$\frac{2}{3}≤y≤2$；
∴综上得，原函数的值域为$[\frac{2}{3}，2]$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，将原函数变成可以利用基本不等式求y的范围从而求值域的方法，注意应用基本不等式求y的范围所具备的条件．