题目内容
【题目】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，且AA1＝
AD．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的大小；
（2）若EF＝
AB，求二面角B－A1C－D的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）作
平面
，连接
，
即直线
与平面所成的角，求出
和，利用
，然后再利用正切值求出即可；
（2）设
,则
，利用
，求出
，再建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角的余弦值.
（1）如图，作平面，所以
,
又点
是
的中点，所以
，
是
的中位线，所以点
是
的中点，
，
连接，则即直线与平面所成的角，
，
所以
，即直线与平面所成的角为；
（2）设,则，
由（1）知，
，
又，所以
，
以点
为原点，以
为
轴、
为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，
，令
，则
，所以
，
设平面
的法向量
，
则
，
，令
，则
，所以
，
所以向量
和
的夹角即二面角
，
，
即二面角的余弦值为.
手拉手全优练考卷系列答案
【题目】为了推广电子支付，某公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车优惠活动，活动期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，现用
表示活动推出第
天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 6 | 12 | 23 | 34 | 65 | 106 | 195 |
表1
根据以上数据绘制了散点图．
（1）根据散点图判断，在活动期内，
与
（
，
均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次
关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据建立关于
的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）优惠活动结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
支付方式 | 现金 | 乘车卡 | 扫码 |
比列 | 10% | 54% | 36% |
车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知每辆车每个月的运营成本约为0.978万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有
的概率享受6折优惠，有
的概率享受7折优惠，有
的概率享受8折优惠，有
的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1.5万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要
年才能开始盈利，求
的值．
参考数据：
|
|
|
|
|
63 | 1.55 | 2561 | 50.40 | 3.55 |
其中
，
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
【题目】某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：
年级名次 是否近视 | 1～50 | 951～1000 |
近视 | 41 | 32 |
不近视 | 9 | 18 |
（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（2）在（1）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为
，求的分布列和数学期望.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附：
