Question

15．已知函数$f（x）=\frac{px+q}{{{x^2}+1}}$（p，q为常数）是定义在（-1，1）上的奇函数，且$f（1）=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，$\left\{\begin{array}{l}f（0）=0\\ f（1）=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得p=1，q=0，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（-1，1）上单调递增．
（Ⅲ）原不等式可化为f（2x-1）＜f（-x），根据函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递增，可得$\left\{\begin{array}{l}-1＜2x-1＜1\\-1＜x＜1\\ 2x-1＜-x\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$\left\{\begin{array}{l}f（0）=0\\ f（1）=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得p=1，q=0，所以$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$．
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1）上单调递增，证明如下：
任取-1＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
从而f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}•{{（x}_{2}}^{2}+1）{-x}_{2}•{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）•（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）•{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（-1，1）上单调递增．
（Ⅲ）原不等式可化为：f（2x-1）＜-f（x），即f（2x-1）＜f（-x），
由（Ⅱ）可得，函数f（x）在（-1，1）上单调递增，所以$\left\{\begin{array}{l}-1＜2x-1＜1\\-1＜x＜1\\ 2x-1＜-x\end{array}\right.$，
解得$0＜x＜\frac{1}{3}$，即原不等式解集为$（0，\frac{1}{3}）$．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．