题目内容
(本小题满分12分)
已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。


(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。


(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
(Ⅰ)
;(Ⅱ)不论点E在何位置,都有BD⊥AE;(Ⅲ)
。


试题分析:(Ⅰ)解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2."


∴

(Ⅱ) 不论点E在PC上何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------3分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且


又∵

∵不论点E在何位置,都有AE

∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴


∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴

∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中


在△DGB中,由余弦定理得

∴



[解法二:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则


设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由


同理得:



∴

设二面角D-AE-B的平面角为



点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。

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