Question

7．已知a，b，c都是正数，a+2b+3c=9，则$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$的最小值为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由（a+2b+3c）$（\frac{1}{4a}+\frac{1}{18b}+\frac{1}{108c}）$变形为：$[（\sqrt{a}）^{2}+（\sqrt{2b}）^{2}+（\sqrt{3b}）^{2}]$$[（\frac{1}{2\sqrt{a}}）^{2}+（\frac{1}{3\sqrt{2b}}）^{2}+（\frac{1}{6\sqrt{3b}}）^{2}]$，再利用“柯西不等式”即可得出．

解答 解：∵（a+2b+3c）$（\frac{1}{4a}+\frac{1}{18b}+\frac{1}{108c}）$=$[（\sqrt{a}）^{2}+（\sqrt{2b}）^{2}+（\sqrt{3b}）^{2}]$$[（\frac{1}{2\sqrt{a}}）^{2}+（\frac{1}{3\sqrt{2b}}）^{2}+（\frac{1}{6\sqrt{3b}}）^{2}]$≥$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}）^{2}$=1，当且仅当a=3b=9c时取等号，
又a+2b+3c=9，
∴$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$，即最小值为$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了柯西不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．