题目内容
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,,,,,平面平面ABC.
(1)求证:平面PBC;
(2)求二面角P-AC-B的余弦值;
(3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析,(2),(3)
【解析】
(1)由面面垂直的性质定理可得平面,然后可得,再结合条件即可证明
(2)作于点O,于点M,连结,可证明,所以是二面角P-AC-B的平面角,然后求出即可
(3)利用求出点B到平面的距离即可
(1)因为平面平面ABC,平面平面
,平面
所以平面
因为平面,所以
又因为,
所以平面
(2)如图,作于点O,于点M,连结
因为平面平面ABC,平面平面
,平面
所以平面
根据三垂线定理得:
所以是二面角P-AC-B的平面角
设,因为
所以,
因为,
所以,
所以
即二面角P-AC-B的余弦值为
(3)在(2)的前提下可得:
,
设点B到平面的距离为
因为
所以
所以
所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为
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