题目内容

【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,,平面平面ABC

1)求证:平面PBC

2)求二面角P-AC-B的余弦值;

3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】1)证明见解析,(2,(3

【解析】

1)由面面垂直的性质定理可得平面,然后可得,再结合条件即可证明

2)作于点O于点M,连结,可证明,所以是二面角P-AC-B的平面角,然后求出即可

3)利用求出点B到平面的距离即可

1)因为平面平面ABC平面平面

平面

所以平面

因为平面,所以

又因为

所以平面

2)如图,作于点O于点M,连结

因为平面平面ABC平面平面

平面

所以平面

根据三垂线定理得:

所以是二面角P-AC-B的平面角

,因为

所以

因为

所以

所以

即二面角P-AC-B的余弦值为

3)在(2)的前提下可得:

设点B到平面的距离为

因为

所以

所以

所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为

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